fundamentos de matemáticas universitarias pdf

fundamentos de matemáticas universitarias pdf

WebCertificado de 120h. V Continue Reading. -2 X+ a) c) f) (g o f) (*) = g(f(x)) g(x2 + 1) (*2 + 1) - 5 ( g o f ) ( S ) = [(—3)2 + 1] — 5 = 5 Ejemplo 17 1 Siendo f(x) = ------1 —x Una nueva aplicación de la ley distributiva nos da (3a4 + 4a2 b + a2) + (6a2 b + 862 + 2b) = 3a4 + 10a2b + a2 + 8b2 + 2b El trabajo puede prepararse como se indica a continuación: 3a2 + 46 + 1 a2 + 2b 3a4 + 4a2b + a2 + 6a2b + 8b2 + 2b 3a4 + 10a2b + a2 + 8b2 + 2b Un caso particularmente importante es el del producto de dos expre­ siones que contienen potencias de una sola variable.En estecasoes con­ veniente disponer el orden de los términos de talmanera que los expo­ nentes decrezcan término a término, esto es, “ en orden descendente de potencias” . La matriz A muestra las unidades de materia prima utilizadas en la elaboración de 50 panes de cada tipo. * + 3 ° Ejemplo 15 Sea U el conjunto de todos los números peales: entonces, algunos de los elementos del conjunto solución de y = 3* + 2 son: ( - 2 , - 4 ) , ( - 1 , - 1 ) , (0, 2), * = 2 ± yl96 2 * = 2*“ 10. 2 LA D ER IV A D A ... f(x)= F (b )-F (a ) = d -e-1 m dx 17Para todo a,— no está definido. c) Como u(*) = !? o Figura 8.5 Intervalo infinito a la derecha, abierto en a. q _—2 + 3 8 235 b) Hoffmann. Resumen 271 38 1 El producto cartesiano de M y N es M X N = = 1400 4"| 1 Puesto que sabemos que para cualquier número real o, a _ Introducción 5 “ 14 3 + — 7 1 Ley conmutativa: p V q «—»■q V p = —6.1 (solución única de x 3 + (ay + y ) (y + zx) (y + x) / —— I 7 x4 y tratar de llegar a la conclusión q por medio de las leyes de las proposiciones, así. = 2X (ln2)3 3 entonces WebFUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA Información general La Matemática es un pilar fundamental de la civilización y la cultura humana, en la actualidad los desarrollos tecnológicos, así como las ciencias modernas utilizan, de una forma u otra, su lenguaje, así como sus procesos de razonamiento. 4 8 i existe (por R7), luego, multiplicando en ambos miembros de ( l ) por 4 SÍ __ 1 (n — fe + 1 ) 1-2-3 —5 5 * + 3 a'1 es el único elemento de S que verifica estas igualdades. ) g) ( jc 3 — 2 V 2 + * — \f2 x 1 para todo x 112 1.01 Derivada de la función potencia La derivada de una función potencia = Derivada de las funciones trigonométricas d du — (sen u) = eos u — dx dx d Si a ¥= 0, entonces a2 > 0. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES T49 2. En los dos capítulos anteriores estudiamos el concepto más importante del cálculo diferencial: la derivada. 7 ± V3S + 120 Resuelva algebraicamente el par de ecuaciones dadas. Factorizar una expresión algebraica significa escribirla com o un producto\ de factores. máximo (5.15) 373 WebLos fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. 3 La siguiente gráfica ilustra esta función que corresponde al caso tres de la Figura 12.3. Cuando se tiene una función de probabilidad continua que depende en un intervalo [a, ó], el cálculo de la probabilidad se realiza mediante la siguien­ te definición: Definición: Si f(x) es una función de probabilidad continua de­ finida en un intervalo [a, 6] entonces la probabili­ dad de una variable x en el subintervalo [e, d] se calcula así: (d P(c < jc < d) = I La venta de los 500 pares produjo in­ gresos de $4,962,500. Í l La pendiente de una recta indica el grado de “ inclinación” de la recta, y formalmente se define así: cambio en y Ay m = pendiente = -------------------- =-------cambio en x Ax luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre Y y X . VF-VF (a3 + 5 a + 2) > y 1975 El cero del renglón 1, es el coeficiente del término a4 que no está explí­ cito en P(x); como x + 2 = x — (—2), —2 = a 2 6 0 | -4 -4 1 0 0 Aunque un número real es un objeto matemático bien definido, pode­ mos, sin embargo, representarlo de muchas maneras. 6. +6 x = f) -8 S 74 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS . 1 s 2 Si o > b y c > 0, entonces a « c > b • t ( Véase gráfico). (2) ( * + l )2 = - 4 Como s R ción. C'(x) = Lím 0.1 (2* + A*) Ax -*■ 0 Realizar la gráfica. p A q *-* q A p 1-31 1 MATEMATICAS UNIVERSITARIAS ¿Qué le sucederá a la población con el paso de los años? M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S V f~l [f(x)] = f~1[2x + 3] = 2 jc í -(x -5 )(3 x ) (x — 3) (x — 2) ( x — 5) — 3x ( x — 3) (x — 2) Fundamentos de matemática. Introducción al nivel universitario [Capítulo 1] Item Type info:eu-repo/semantics/bookPart Authors Egoavil Vera, Juan Raúl Citation Egoavil, J. (2014). Fundamentos de Aritmética. En Egoavil, J., Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario (pp. 1-16). t z 133 2 2720 años b) En este caso ¿a qué precio se vendió cada artículo? / ( jc ) Solución a) Sea * el número de días de venta, y sea y el número de artículos en bode­ ga; entonces y = 1,386 - 42* b) Siy = 336, 336 = 1,786 = 42* 4 2 * = 1,050 * = ^ = 2 5 42 Tendría que realizar el pedido al cabo de 25 días. En este caso también hemos eliminado los radicales del denominador A la expresión y/W— y/E se le llama el conjugado de y/E + y/E . si At -> O, entonces Y •* 10 que también suele escribirse así: Lím V = 10 Aí-> 0 Este valor límite de la velocidad promedio se denomina velocidad instan* tánea, por lo que escribimos: y ( t = 20 ) = i o que se interpretará como la velocidad del móvil en el instante í = 20 Observe que hemos obtenido el valor límite de V*para cuando Ai se acer­ ca a cero, y no el valor de V para cuando Ai = 0. * T Teorema 1 Si f es una función con segunda derivada, entonces: f es cóncava hacia arriba, para todo x tal que f " ( x ) > 0. f es cóncava hacia abajo, para todo x tal que f " ( x ) < 0. 2 2 = (jc3 - 2jc+ 1) i - 3 (1 - ( - 1) ) Ejemplo 4 v * + 13 - V 7 - * = 2 y/x+ 13 = 2 + \/7 —x Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical del miembro izquierdo. 1 0 0 Consideremos el ejemplo de un tanque de forma cónica al que le está entrando agua a una determinada velocidad; a medida que el tiempo cambia, se altera el volumen de agua que contiene el tanque, cambian también la altura del nivel del agua y el radio, y por ende el área de la superficie circular del mismo. 1----------------------. Polinomios y funciones polinomiales O B JE T IV O S 2 0 CONJUNTOS 19 A p é n d ic e E A=B A=B ACB ACB A=B La indeterminación en la expresión Para medir el tamaño de un ángulo, tal com o el B , , se traza un círculo con centro en B. Resolviendo las operaciones, obtenemos: 1 de , — — = c (x) dx dR = 12 -1 0 En la Figura 13.6 se ilustran estos casos. 1. R3: 5 x 0_ X Es el conjunto de puntos (x, y) del plano cuya suma de distancias a dos pun­ tos distintos prefijados, llamados focos, es constante. V -1 = 64.x2y 2 —^ 3 ? f ( jc ) = ——— ; g( jc ) # 0 g (x ) 1 m n o 2 = -2 1 = 20,492,000 - 12,000,000 Equivalencia (■*-*) = (a X c) + V se lee “ para todo” y es el cuantificador universal. 11 m n o Un argumento lógico es un razonamiento en el que a partir de una serie de enunciados llamados premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. P( 0 ) = 50 m Sea y - 3u1 + 2u — 1 y u = 3jc + 4 ------- . Algebra de funciones 2 c) 6 L - 1 0/ 6 eo La adición y la multiplicación son operaciones binarias asociativas en R. 2. Ejemplos: Calcule la pendiente de la recta que pasa por (2, 2) y (3, 6) (6.1) se denomina fórmula para la solución de una ecuación cuadrática de la forma ax1 + bx + c = 0, en la cual los valores dea, b y c son respectivamente los coeficientes de la variable al cuadrado,la variable lineal y el término indepen­ diente. c) Nota: * 1-1 Factorizar correctamente expresiones algebraicas. 2(—1) , DxF,DxY. La solución puede obtenerse fácilmente en forma gráfica. 6.1 í > - i - < vr+ vr) ln" x=£ n ln x 11.6 13) Trigonometría La parte más útil de la trigonometría para el cálculo incluye el estudio de tres funciones fundamentales: el seno, el coseno y la tangente. 1 1 i Gráficamente, 3. 1,200,000 + 0 .1( 10,000)1 y -9 0 Un polinomio es una expresión de la forma P (x) = ae + (¡i x + ¿Cuántas unidades produce cada uno cuando trabaja sin compañía? (4JC4)2 Simplifique, dando sus respuestas sin exponentes negativos. y > Ax + 9 y > x 1 + 4jc + 6 2 ALGEBRA BASICA 65 25 el anterior sistema puede escribirse así: A •X = B, que se denomina la representación matricial del sistema. Q ( t ) = Q o a kt 253 61 (3*+ 4 )(* + 4)+ ( * - 3 ) ( * - 4 ) ( x + 4)2 ( j c - 4 ) Implicación (-»■) En este caso uti­ lizamos la siguiente disposición: ________ -5 _______ Definición: Una matriz A de tamaño m X n es un arreglo rectangular de nú­ meros, distribuidos en m filas y n columnas colocados entre paréntesis, así: an d) 12o2 - 2 7 e) o2 - 13ab + 3062 f ) 3JC2 - 2x - 8 g) (por 5.9) ~p 5. El siguiente teorema garantiza este hecho. 4 0 x sen — = -1 -3 190 McGraw-Hill. bm 2 3 1 1 \ 1 \ 1 \l + — 2a3b + 5a2 b2 — 3ab3 5 = Arquitectura. _0 a) x = — ; y = - 4 ;z = 3 3, si jc < 3 jc (3o2 - 3b2 + 8c3) + (2o2 + 4b2 - 6c3) - (a2 + b2 + c 3) y i dv 4 \/4 + x 2 + (9 — « ) ¿5 - Tal como se observa en la gráfica, la función parte entera es escalonada. i 1 Pi ( 6 .8 ) r 2 13 3 26 *+ 4 Regla de la cadena: Si y es una función que depende de u, y = y(u), donde u es una función que a su vez depende de x, u = u(x), entonces la derivada de y con respecto a jc se calcula asi: dy d) Cuando dos obreros trabajan separadamente, el primero produce 4 unidades/min. Dibuje las curvas y - 3* e y = 5X en el mismo plano. b) ¿Cuál debe ser el precio de cada artículo para obtener ingresos de 5* — y + 3z — 3 = 0 —2x + y — 2 « + 2 = 0 3* + 2y + « — 1 = 0 Ahora sumamos 2 + 5 = 7, y después 7 + 8 = 15. Si los costos fijos son de $150,000, ¿cuánto cuesta producir * = 20 artícu­ los? a6' 2 = a4 13 d) Determinar las regiones de concavidad (convexidad). Para recordar esta convención dibujaremos una flecha hacia la derecha en el eje X, y otra hacia arriba en el eje Y. Estas rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas “ cuadrantes” que se numeran I, II, III, IV (véase Figura 3.8). Recuerde que: 1. Estudio biología Paso la materia GMHttMmttMHttM O -■ i1 0 1 Figura 8.10 |x | < 1. , 10 3 90 !? x —0 = 32 El logaritmo de un producto: ^ (A n B ) ' = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 , 1 0 } ( A U B) ' = ( 2 , 5 , 7 , 9 } (A n B ) U C = { 1 , 4 , 6 , 8 , 1 0 } (A u B) O C = { 1 , 4 , 6 , 1 0 1 = C / v f v f La ecuación de la demanda de dicha fábrica está determinada por la ecua­ ción 30x + p = 6600. U (por 8.1), implica que jc + 5 > 3 ó = (a:— 1) (2a? 1x de R$ 299,00 À vista. 11. a; *>(M)= fÍ3> , 15}, |3,5},0} 1 De manera similíir completamos la tabla para el ifactor « - * 2 , así: -6 36y*° 12 10 x13x10 jcy2 -+ f 4. y R E S P U E S TA S (n — fe)! 6 13 a) El costo marginal por unidad cuando se producen x unidades es C'(jc) = 6jc2 + 2x + 3. La téc­ nica consiste en determinar la relación entre estas dos cantidades, lo cual permite con un error del 5% al 10%, encontrar la edad del objeto en cuestión. = 2x . a:+ 5 > 0 U = X'p — (150,000 + 3602x - 0.02a2 ) II b) mXmXmXmXm mXmXmX m Lím x 3 + 4 x 4 Lím x^ - 4 Ejemplos 1. 1) Encuentre las ecuaciones para la ofer­ ta y la demanda suponiendo que éstas son lineales, 2 ) ¿en qué punto la oferta y la demanda son iguales? c 0 Al cabo de t años de capitalizar el interés continuamente, el saldo total a invertir C pesos al r%: es: Ct = C e 100* En el ejemplo que estábamos considerando, al cabo de 5 años de capita lizar continuamente, el capital total obtenido es, — ■'•p f 1 2 ‘ 1 fila 1 fila 2 fila 3 c) Diferencia de dos cuadrados Consideremos expresiones de la forma x 2 — a2 Por (4.5) x 2 —a2 = (x + a ) ( x — a) por tanto, los factores de una diferencia de cuadrados pueden escribirse a primera vista. Ejemplos de esta situación tienen que ver con depreciación de maquinaria, desintegración de sustancias radiac­ tivas, etc. 173 V b) Si se producen 480 unidades de salchichón cervecero, ¿cuántas unida­ des de salchichón corriente pueden producirse? 14X3 En el ejercicio siguiente demuestre o refute la proposición dada, utili­ zando las propiedades R1 a R8. Recuerde que: 1. 12.6 Ejemplo 20 3 — x, x > 2 Sea f(x) _ 2 e (f = 2) = 32.6 m f f a INFORMÁTICA + MATEMÁTICAS 20 2. dv 1 y —— = 4x, entondx 3. du = 3jc2 y — — = 2x, entondx dx De los tres casos anteriores podemos concluir que para calcular el lími­ te de una función basta con remplazar el valor de a en f(x), siempre que ésto sea posible; en caso contrario, transformamos algebraicamente f(x) en _ -8 2 1 0 14.3 Integrales definidas Tumer/Prouse. 3 R ESP U ESTA S RESP U ESTAS = — = eos 9 r 5_ / sec2 u du = tang u + C 15. En el momento en que la distancia entre el aeropuerto y el avión es de 300 km, ¿cómo está cambiando esta distancia? = - 1.54 85 si + Funciones O B JE T IV O S L A D E R IV A D A Cuantificadores existenciales: El cuantificador existencial es “ existen algunos” y se representa con el sím­ bolo 3. 267 1. y u - t : 3 2 M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S o) el salón debe ser circular, con r Una figura puede ser de gran ayuda. 3 x —z = 0 y + z= 1 2x — y = 5 El inverso multiplicativo de a (¥= 0) se escribe — . = = M a) 4 '1a '3 e) Propiedad conmutativa: S i A y B son matrices de tamañomXn,entonces A+ B= B+ A 2. 1 Enter the email … |3a + 2 - [ 3 a : 2 + 5 a - ( 4 a + 6 ) - 6 a + 2]} Gráficamente, (- 8) ( - f i ) + A-B Ejemplo 6 Sea P (* )= 12a3 + 33a2 V - 4 1 28 , VT 4 1 (7.6) Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas Primer Semestre 2016 FM2 ⋆ Fundamentos de la … La misma situación se puede considerar del cero hacia la izquierda (enteros negativos). ( jc2 + - jc 2 Decimos que c es un punto de inflexión, si f ” (c) = 0 ó f " { c ) no existe: c es un punto en el que la gráfica de / cambia su concavidad, de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa35. X= T 2. x* — x 2 = x 2(x? Figura 6.4 1 3,1 (1V—l2x ~i— 1 Fernanda Vazquez Vela. 8 3. a" = \fa Cayley y Sylvester convirtieron las matrices en importantes instrumentos en la solución de pro­ blemas de las ciencias económico-administrativas. *~2 implica q u e 3 an ^ b 1 2 •• • aln a+ 3 a a 22 _8 X 32 g d) (\ + 4) (x —2) (x \ 4 ) (x + 8) (x + 1 ) (x + 11) 3(2x H\3) (2x - 3) (a - 106) (a - 36) (x - 2) (3jt + 4) (x — 1) (x + 2) (6x+ 11) (6x —11) (x - 3) (x + 3) (x + y + 5) (x —y — 3) Por tanto la solución es 2. 2. p o r (7.1) ( jc ) a c = b c iv. (-2 )2 = +4 22 = + 4 ( - 3 ) 4 = +81 (3)4 ll a) f(x) = EC U A C IO N ES por lo que C7'(10,000) = 20,000 — 0.6 (10,000) í/'(10,000) = $14,000 f La si­ guiente matriz B muestra los precios por unidad de materia prima en cada sucursal. Puesto que — y ~ no son más que nombres del mismo número, diremos que son iguales y escribiremos 145 En algunos casos el proceso exige que la matriz A sea reducida hasta una matriz idéntica; en tal caso los ceros sobre la diagonal principal se obtienen utilizando el proceso antes descrito. 2V o + \ f b ~ 2V á + sfb Resuelva las siguientes ecuaciones. Con l a Ingeniería en Sistemas Computacionales de UNIR México adquirirás conocimientos teóricos y prácticos en inteligencia artificial, ingeniería del software, diseño de hardware, arquitecturas de red o seguridad de los datos que forman … En nuestro caso, f ’(x) = 3x2 — 8 x + 5. > -2 donde fe representa la cantidad de aumento en el precio y disminución en el número de revistas vendidas. Luego X = A~l -B, lo que nos permitirá encontrar la solución del sistema. f) k) Lím x -*■ 2 + 1) a) i) 7 OHIO b) i) 24 05 5 c) i) 60 0 1 3 A={, 1 , con u = f(x) = 15¿cr y y = g(x) = —2 x2 , entonces dx 3.10 Resumen 21 Un día, la suma de las distancias recorridas por un Neverstart y un Everk­ nock fue de 91 kilómetros, y el costo total de la gasolina consumida por los dos automóviles fue de $1,620. En general se tiene que para encontrar el cociente de dos potencias de igual base (con exponente mayor en el divisor), se eleva dicha base a una po­ tencia igual a la diferencia de los exponentes; esto es: paran > m 13 Reescribiendo la inecuación obtenemos (* — 10) (x + 3) (x + 3)2 (x — 2)2 > 0 para xgt 2, x — 2 ^ 0 por lo que (x — 2 )2 > 0; de manera similar para x # —3, x + 3 # 0 por lo que ( jc+ 3)2 > 0, entonces • i < i que -0 .0 3 6 7 6 y Una epidemia se propaga a través de una comunidad de forma que t se­ manas después de su brote, el número de personas que han sido infecta­ das viene dado por una función de la forma B f(t) = ^ + c e ~kt ’ Una proposición lógica es un enunciado del que se puede decir que es verda­ dero o falso, pero no las dos cosas a la vez. p (*) Si una función es racional, esto es de la forma ------ , escrita de la maneq(x) ra más simplificada, su gráfica tendrá: a) Asíntotas verticales en los valores de x en los cuáles q(x) = 0. b) Asíntotas horizontales si el grado de p(x) es menor o igual al grado de q(¡c), en cuyo caso, — la asíntota será la recta y = 0 si el grado del numerador es estricta­ mente menor que el grado del denominador. PG PP PE (*)] = En la si­ guiente figura se ilustra la situación. c) a + (b X c) A n ¿ = (8} -2 3 -1 Casos especiales 2 5 3 Ejemplo 27 Resuelva x+ y+ z - 1 = 0 2x — 3y — 2z + 4 = 0 3x — 2y — z + 2 = 0 La primera eliminación (d e a ) nos lleva al sistema 5y + 4z — 6 = 0 5y + 4z — 5 = 0 Eliminando y obtenemos —1 = 0 luego el sistema no tiene solución. b) 6. p - ’-q Expresamos y así antes de derivar. Del mismo modo, definimos a X b X c como igual a cualquiera de las expresiones ( a X b ) X c ó a x (b X c). 4. 2 ( \fTT—1) Open navigation menu. 21 -2 207 uJ [ ;] f) 115 Un par ordenado (jc, y ) de números reales es un par donde el primer ele­ mento es x y el segundo elemento es y. Como consecuencia de esta ordena­ ción, el par (x, y) es distinto del par (y, x), si x¥= y. f = ------ x s da: 10 l_ 3 2 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales a) 1 5 * — 8 = 3 * + 2 — (* + 5) b) — |2*+ 7 - 1 - 1 + 3 * - ( - 4 * + 9 ) - ( 3 * + 4 ) ] - 2 9 ) = - 3 c) * — 3 + 4* — 1 _ * + 9 4 2 3 d) 2 * + 1 5 x> l ó R 150 Recuerde que: 1. 8* f(x) d x = 1 a a —c = b — c iii. ¿Cuántos electores votaron por el ganador? 10 = Calcular el área bajo una curva dada. or reset password. A Cortes Figura 3.6 Representación de los irracionales. dy — = 2z dt 3. Remember me on this computer. v (—5)2 = V ÍF b32 V c) Resuelva la ecuación 2x2 + 5x — 7 = 0 (x — 1) (2x+ 7) = 0 entonces, x — 1 = 0 ó 2x + 7 = 0 de donde x = -1 o> x =7 — Recuerde que no todas las expresiones de la forma ax2 + bx + c son factorizables, es decir, que este método no se podrá aplicaren todos los casos; de ahí la necesidad de estudiar otros métodos de solución. dx = ]u [8 ,~ ) + c x* c) d) V6*+VT5+3 NOTACION (*) = 1 0 0 0 * — * \fx A!? = 1 17 En forma de intervalo, la solución corresponderá a ( ~ — , « ) n (— oc( l ] , luego - e) Si a ¥= 0, ax + b = 0 tiene solución única. - 1 0 0 349 x2-16 _3_ a x > b x + c, y en general todas las desigualdades donde la variable es lineal. 129 15 ; ( } - ! ) Teorema del factor. 14. ’ 1 = $3100 Fondo Educativo Interamericano. b) 12.10 Derivadas de orden superior Tema 02: Sistema métrico decimal ( PDF ). Download Free PDF. Ajc [(* + Para ajmdar a recordar su fórmula, tenga en cuenta que el denomi­ nador es el producto de los enteros desde 1 hasta fe. a4 + a,2b2 + b4 = a4 + a2 b2 + a2b2 — a2b2 + b4 = (a4 + 2a2b2 + b4) - a 2b2 Observe que la expresión dentro del paréntesis es ahora un trinomio cua­ drado perfecto, por tanto a4 + a2 b2 + ó4 = (a4 + 2a2 b2 + b4) — a2 b2 = (a2 + b2)2 — a2b2 = (a2 + b2 + ab) (a2 + b 2 — ab) Ejemplo 10 Factorice 16jc® — 25¿* y 2 + 9y4 I x + 3 = 0, entonces x = —8 o bien x + 2 = 0, entonces x = —2, Así el conjunto solución de la ecuación dada es S = { —8, —2 } Esto significa que la ecuación x 2 + lOx + 16 = 0 tiene dos solucio­ nes. L3 d X ---c La matriz identidad / también recibe el nombre de matriz unidad. 5+VI37 1 Ejemplo 12 Mensualmente una compañía puede vender * unidades de cierto artículo a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y * (precio y número de artícu­ los vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1,400 — 40*. L LA D E R IV A D A A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A Pourcel Edwin J. y Varberg Dalí. ¿Cuántas ventas deben atribuirse a la publicidad en los periódicos y cuántas a la publicidad de la televisión, suponiendo que actúan separadamente? mX = e) Si * = +, entonces (4, 0) ->• 4/0. Factorice completamente: a) x 2 + 2x —8 b) 3 2 + 12* + a2 c) a) $ 508,330 Ejemplo 6 Construya la tabla de verdad de: [ (r A s) -*• q] «-*• [ (s A 'V q) -»• “V r] ® rA s + 19) (6a:'2 + a:3) du dv Tomando u = 3a? 2. a) 0" Ejemplo 13 4) (* + 1) (¿e— 1) es el m. c. d. de x JC+ 1 jc x.4 1 E C U AC IO N ES "-4 f(x) = + oo Aunque Newton y Leibniz dieron una versión de la integral y la utiliza­ ron para el cálculo de áreas, fueGeorge Friedrich Riemann (1826-1866) quien proporcionó una definición exacta de integral. V Formalmente definimos los puntos máximos y mínimos locales34 así: b) En el caso de que f '(c) no exista, puede ser que en f(c) se presente “ un pico” , o que c es tal, que Lím f'( x) = (véase Figura 13.2). WebNuestro Plan de Empleabilidad Integral del Maestro en Educación Infantil te prepara en 4 años para obtener la Capacitación en Inglés y en Valenciano, el Título de Experto en Enseñanza de la Religión Católica, las oposiciones y la Acreditación de Competencias Transversales. 2.2 Lo anteñor nos lleva a la siguiente definición: = { x I x € Dom f A f ( x ) G Dom g x ¡ x * 1 A-— + 5 > 0 1—x = (-00,1) U B = caso, si queremos encontrar una, asignamos un valor cualquiera a una de las variables de la ecuación anterior, y obtenemos el valor de las otras así: Sea y = 1, entonces 3(1) + 7 = 3 z luego z = —— O remplazando en (1) ~ -4 1 y = b) a) En particular halle ln 1, ln 2, ln e, ln 5, ln — , y ln e 2. 62 1(31)] = /(14 ) = 31. r Paso 3: Obtención de la segunda derivada y de los puntos de inflexión La segunda derivada de f(x) es: f " ( x ) = 6jc — 8 La determinación de los puntos de inflexión se realiza de acuerdo con la siguiente definición: ~2 no es una operación binaria en R porque (a, 0) -> (a + 0) no está defini­ da. Asumiendo que la ecuación de la demanda es lineal: a) Determine la ecuación de la demanda. No siempre las ecuaciones lineales y /o cuadráticas presentan la forma están­ dar ax + b = 0 ó ax2 + b x + c = 0, sino que en muchas ocasiones éstas ini­ cialmente presentan otras formas con fracciones, radicales, etc. Para la construcción del plano cartesiano trazamos primero dos rectas per­ pendiculares en el plano y las denominamos eje X y eje Y. Su punto de in­ tersección se llama origen 0. -3 Basados en la estimación de que hay diez mil millones de acres de tierra cultivable en nuestro planeta y que cada acre puede producir suficiente comida para alimentar a 4 personas, algunos demógrafos creen que la Tierra puede soportar una población de no más de cuarenta mil millo­ nes de personas. En el conjunto de los reales, la Súma y el producto satisfacen las siguien­ tes propiedades: R l: x 3 + x, el eje X desde x = 1 hasta * = 4 Conclui­ mos que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta numérica y los números reales. sen Un termómetro marca inicialmente una temperatura Ta = 18; 30 segun­ dos después marca una temperatura de 11°C, y 30 segundos más tarde, una temperatura de 6°C. = c (* 2) — c( * i ) = c(900) — c(700) = [50,000+ 1500 ( 9 0 0 ) } - [ 5 0 ,0 0 0 + 1500(700)} = $300,000 Una solución de P(x, y ) = 0 es el conjuntó S formado por lós pares orde­ nados (*, y) qüe verifican la ecuación. La matriz A • B de tamaño 2 X 2 , representará los costos totales en ma­ teria prima para cada tipo de pan en cada sucursal. 361 = - 8.46 9 + s/Wi 209 I -4 q Rectas como x = —3 y y = 0 (eje X ) a las que la gráfica se acerca para ciertos valores, se denominan asíntotas de la gráfica, x = —3 es una asínto­ ta vertical y y = 0 es una asíntota horizontal. XIV, núm. 4 + 2X2 — xy~2 z 3 En la anterior expresión algebraica se observan tres términos: 4; 2X2 y —xy~2z 3. 1 2 .1 1 «i f) 3o3 344 ■ q I I | Matriz nula: aunque anteriormente ya la habíamos mencionado, una matriz mXn donde todos sus elementos son iguales a cero se denomina ma­ triz nula. L _ 1 3 4 16 de donde se obtiene ' y " LOGICA 31 16 — 15 13.4 Variables relacionadas: {razón de cambio) En distintas situaciones de la vida diaria, muchas funciones cambian con el tiempo y todas las variables que las componen. 2 103 a) b) d> + b 2i + Mauricio Hernández Estrada. En este caso, “ (2.0) + (0.1) TS = Britton/Bello. ¿Quién le gusta realmen­ te a Julio César? El conjunto {1, 2, 3, 4 ,. En estos casos necesitamos transformar la ecuación original en una ecuación equivalente, utilizando las propiedades (P1 y P2) y las operaciones descritas anterior­ mente. dx" y 16.x2 + 8xy + y 2 es un cuadrado perfecto 16x2 + 8ay + y 2 = (4x+ y ) 2 3. En este capítulo haremos una introducción al segundo concepto importante del cálculo: la integral. En este caso 30* + p = 6600, luego p = 6600 — 30*, entonces U = *(6600 - 30*) - (150,000 + 3602* - 0.02*J ) U = 6600* - 30*1 - 150,000 - 3602* + 0.02*3 U(x) = 2 9 9 8 * - 29.S8*2 - 150,000 Paso 3 : Derivando obtenemos: U '(*) = 2 9 9 8 - 5 9 .9 6 * igualando a cero, obtenemos: 2998 = 59.96* a - Inversa de una matriz 14.1 Introducción En el momento en que la publicidad fue interrum­ pida, cierto libro estaba experimentando ventas de 25,000 ejemplares por mes. —— 4 Observe: — A medida que j c toma valores cercanos a —3, los valores de y se hacen cada vez más grandes (se alejan cada vez más del eje X) . = 0(16jy+aí2&2/+ •••+ainbn¡ La ecua­ ción anterior se denomina forma punto-pendiente. 9 V Ejemplo 6 Ley del enfriamiento de New ton La ley del enfriamiento de Newton dice que la razón a la que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio ambien­ te A, y la temperatura del cuerpo T, esto es, ai — - k (A — T) dt Si un cuerpo se saca de un hom o a 100° C, ¿cuál es su temperatura des­ pués de 2 horas, si en la primera media hora el cuerpo tiene una temperatura de 50° C? Existe una relación entre la adición y la multiplicación que se utiliza con­ tinuamente en aritmética y álgebra. Dispone de 240 pies de valla. 8 y — 2+ x —2 • 2\fx—2\Jx+ Ax - •••_ • -— Identificar correctamente los diferentes tipos de matrices. 0. 8 = 2*/n2 - 16 d) e) Al vender 10,000 unidades, ¿cuál es la utilidad promedio y cuál es la utilidad marginal? Véase Figura 13.3. / cosec u d u = ln I cosec u — ctang u I + C 14. jc3 + 4x 2 - 11 "1 1 J = — 2y = 3 \ / 2 + * ( - 1 ) 4 + 2(—1) - 3 12 [1 + ( - 1 ) ]2 0 que no representa ninguna indeterminación (recuerde que en el denominador no aparece realmente el cero), ya que corresponde al cociente entre un nú­ mero cercano a 12 y un número que se acerca a cero. En otras palabras, se puede sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una igualdad sin que ésta se altere. dx du Represente sobre una misma recta numérica los siguientes números: a) 9 8 1 2(x — 2) — 3 (* — 3) a 21 6 y (4\ /* 4 ) (*), 1* — 2 |< |* + jc x4*1 x 4 dx = 4+ 1 J x5 Si la ecuación anterior contiene más de una variable, es necesario encontrar una ecuación que relacione dichas variables, con el objeto de escribir la ecuación a maximi­ zar (o minimizar) en función de una única variable. equi­ 98 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S Si a > 0 y b > 0, entonces (a + 6) > 0 i a"1*" mn Observe en los ejemplos anteriores lo siguiente: 1. Si f { x , y ) + M = 0, con M constante entonces tenemos una función implícita. 14 [fix)]* —3 Halle la ecuación de una recta tangente a la curva y = — y x recta x + 2y — 6 = 0. 0 2 _ 7 1 1 1 = = , si l i ____________ _ _l_____i______ '= ( * + 2) ( x + 2) e \i =_ 1.648721 \ P O LIN O M IO S Y F U N C IO N E S P O L IN O M IA L E S Lím f(x) = Lím ( x — 1) = g(—1) = —2 x -*■ —1 32xsy “4 Una proposición cuantificada es aquella en la que se sabe cuántos elementos la satisfacen. x < —a 4 Función determinante 4 h) ~ i) V -^ = 200 6 y = 1 ,2 0 0 se producirán 1,200 unidades de salchichón corriente. f Observe que el tamaño de W es 3 X 2 y el tamaño de U es 2 X 3, por lo que el producto de JV por U se puede realizar y el tamaño de la matriz pro­ ducto será 3 X 3 . 3x2 — 2x [1] El sistema educativo mexicano se … +c a tiene inverso si a ^ —1 . 301 cotangente 9 = — b) 2 T 191 Restando 2 de ambos miembros obtenemos una ecuación más sencilla, 4x = 8 y/F* = Qo e ~ 12x - 2 M A TEM A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S Puesto que la adición es asociativa en R, definimos a + b + c com o igual a cualquiera de las expresiones (a + b) + c ó a + (b + c). F U N C IO N E S -6 15 10 Como definimos en el Capítulo 6, la demanda para un cierto artículo es una ecuación de la forma ap + bx = c, donde a, b y c son constantes, que rela­ ciona el número de artículos vendidos y el precio a que éstos se venden. Método de Gauss En una gráfica se pueden presentar tres tipos de asíntotas lineales: horizontales, verticales y oblicuas, de las cuales máximo dos se pueden presentar simultáneamente en una misma gráfica. 1 0 0 Una expresión de la forma an, con a G R + , se puede representar así: y/a en donde 139 376 f H SOFTWARE > Grado en Ingeniería Informática: PDF G. ING. 2 vjc+y b) —108x-8y 22 = 2. , dr *(3)(9m 2) — dt x2 1 d) y = ~ T ~ ~ i < °-r ) - 7 = —(— yfT)=\f% M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 3^. ya que en todos estos casos, cada una de las funciones se da explícitamente en términos de una variable, *, t, p, respectivamente. Grafique las siguientes funciones calculando para ello puntos de corte con ejes, vértice y hacia dónde abre la función. 12 a3 + 33a2 Exprese en forma simbólica y niegue las siguientes proposiciones, utili­ zando el cuantificador apropiado: a) Existen enteros tales que x 2 — 1 = 0 b) Ningún conjunto es subconjunto de vacío c) —5 es un número racional d) A todos los alumnos de secundaria les gusta los deportes e) En todos los números naturales x, —x es menor que cero f) -1 52 Bamett. -3 Q _ 1 —eos u + C Halle la velocidad después de f = 2 seg y la altura a la seg que se encuentra el proyectil en ese momento. i Si t.i Resuelvalassiguientesecuacionesdiferenciales: a) —dy = í2+ 3í, siparaí =0, y =2 dy =\J,-xy - 3, siparajc=0, y= 3 b) --dx dy Dichas combinaciones se logran mediante las operaciones suma, dife­ rencia, producto, cociente y composición de funciones, que se definen así: 1. Si F(jc) es una antiderivada de f(x), entonces .b 4" -5 —6_ Ejemplo 1 Como V T ^ 0, entonces ( V 2 ’ )3 > 0 4 © g )f F(x) = - Í ( 3 * 2 + 5 ) * dx Dividiendo entre ■-2 la tercera fila. 2 f X 3. a)— 4 117 4. V ~b 2. (3,~) - (— V x ) dx —ad —be Figura 8.6 Intervalo infinito a la derecha, cerrado en a. Figura 3.8 Cuadrante del plano cartesiano. a? M A T E M A T I C A S U N IV E R S IT A R IA S yfa+ \fb ) (2\/a— V b ) 7. \ b) Un hombre de pie sobre un muelle hala de una cuerda para acercar un bote hacia la base del muelle. — a asi que —7— = f (x) = 4 x + 5 y = g ( x ) = 9x? 260 f) 2 M donde los coeficientes son números reales. ) Lím f(x) = —4, existe, pero es diferente de fl—1) = 2, entonces x -*■—1 concluimos que f es discontinua en x = —1, pero que está discontinuidad es evitable, y para remover la discontinuidad hacemos que f(—1) = —4. La derivada = p (* + A x ) - p ( x ) = 30,000 + 200 (x + Ax) - [30,000 + 200*] = 200* + 200A* — 200* 206 Dado que la división es un caso particular de la multiplicación, se cumplen para ésta las leyes de los signos vistas en el producto. c) Asíntotas oblicuas, si el grado del numerador es uno más que el grado del denominador. 1. V dw dx 14.5 Ejemplos x2 — 1 X + Una parábola queda determinada gráficamente cuando conocemos los siguientes datos: a) Hacia dónde abre b) Cortes con los ejes c) Ubicación del vértice a) Para determinar hacia dónde abre la parábola basta observar el signo del coeficiente de x 2. Aplicar las reglas del álgebra de derivadas para calcular la derivada de cualquier tipo de función. f( x) = L = f(a ) 5. a) Intervalo semiabierto De manera similar, [a, b) se define así: [o, b ) = | a : G # 2 / a < * < b ) Gráficamente, [a, b) -«-------------------- » ............... + 8. = 2 de multiplicidad 2 V J VTI n ¿Cuál es la población actual? Y‘ l V~3 = Au Una función F es una antiderivada de una función f si para todo x G D f F '(*) = f(x) *" d * = ( jc3 jc- y = 0 Dé un contraejemplo. b) _7 20 2. 8 y/2 H En este g Dominio de R0 = E Rango de R0 —Z* 3. a) no es función b) función biyectiva es función d) función biyectiva c) [ \/2 + Vector columna: Se denomina así a una matriz B de orden m X l y en forma general se escribe: &n &21 &3I División de un polinomio entre un monomio 14 2. p d , (In x + dx d dx 1 V 3 6 + V 9Ó +3n/6 — "— 16 6) a + (—a) = 0 Figura 8.7 Intervalo infinito a la izquierda, abierto en b. m-* rr Continue Reading. NUMEROS 53 234 - 3 rb I [/(« ) — £(*)] dx *a La teoría se tratará en el siguiente ejemplo. F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S Y L O G A R ITM IC A S = 0.2 + ( - 2 ) - 1 = 0 - det A = WebGarantiza la seguridad de las organizaciones con el Grado en Ciberseguridad de UNIR. 3. b) Eje mayor, paralelo al eje Y (x -fe )2 La teoría desarrollada en la sección anterior, para hallar máximos o míni­ mos locales de funciones, puede aplicarse para encontrar los valores máxi­ mos y/o mínimos en problemas prácticos. . C sen y ” = -2 e) f) Qx6 —18*3 y - - ^ T F +^ LA D E R IV A D A e Df =(-, 2] U [3,oo) 0 2x d x — í 180 se deduce que radianes = k) Realice las gráficas de: a) y = 10 + e* jc + x2 Para resolver ecuaciones cuadráticas se utilizan varios métodos; aquí estudia­ remos los siguientes: Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización É) ~ 1 J m s = - 4 .9 t2 + 491 + c como en el caso anterior, s(f = 0) = 40 = —4.9(0)2 + 49(0) + c luego c = 40, entonces s = —4.9f2 + 49f + 40, s(t = 3) = - 4 .9 (3)2 + 49(3) + 40 s(í = 3) = 142.9 m. Un importador de café brasilero estima que los consumidores locales 4.374 comprarán aproximadamente D(p) = - '■ ■ libras de café por semana P2 cuando el precio sea de p pesos por libra. e) Haría. Figura 10.3 La función y = x 2 . e(l+a) = 0 V V4 / Aplicando la ley distributiva, se tiene: = (3a2 6) Q . 4 De donde: 4 —x X = 2. 314 Introducción Ac Construir los sistemas numéricos, desde los números … d) (2a + a4 - 3 a 3 + 4 ) ( 3 a + 6 - 5 a 2) Resumen . 3 —— + C, a > 0, a ¥= 1 ln a J y sea fe = _ c (* = 20) = 400,000 + 160,000 + 10,000 - 4,000 + 150,000 c ( * = 2 0 )= 716,000 14.8 - (-400a:, si el costo marginal correspondiente es b 13 66 - Ix y + 2y2 + 19a - 13y + 2 0 5. jc 4 * > 9 ) MATEMATICAS UNIVERSITARIAS 2 jc+ 3 - 3 Centro en (h, k) y radio R La parábola A continuación describiremos las clases de matrices que se utilizan con mayor frecuencia. x 2 + y 2 = 25 en las que ninguna está en función de una variable, se denominan funciones implícitas. 2 b 3 (1.4) + ( - 3 - -2) (0.4) + ( - 1 - -2) Lím f ( x ) , entonces 2“ A 'B ¥= B' A no cumple conmutativa. Grupo Editorial Iberoamericano. - an a2 2 a21 an < * 2 l " " ' "^ 5. . . 220.000 Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. 2 e) 4. Paso 3: Segunda derivada y puntos de inflexión „= i) Introducción: cada día cobra mayor importancia que los dirigentes conozcan los fundamentos teóricos que explican las razones que impulsan a los trabajadores a conseguir una meta u objetivo.Objetivo: reconocer las bases conceptuales de cada una de las categorías que serán tratadas en este artículo: desarrollo organizacional, cultura … b) ¿Cuál será el precio del dólar en 10 días? 3.3 INECUACIONES Los signos de agrupación más empleados son: ( ) Paréntesis [ ] Paréntesis angular o corchetes { } Llaves Ejemplo 3 x + 2y — (3jc+ y) ( x - 2 y ) {x + 2y) Para suprimir signos de agrupación se debe tener en cuenta: 1. 4x — y + 3 = 0 8x — 2y + 6 = 0. V (> /f-> /n )(> /5 T ) 0 Esta unidad, algo arbitraria, complica mucho el cálculo con las funciones trigonométricas. 4. 14.4 Los si­ guientes teoremas muestran algunos procedimientos que nos permiten calcu­ lar (cuando sea posible) las raíces de una ecuación polinómica p (x) = 0 Teorema: Algoritmo de la división. b) Resuelva el problema anterior si la atracción de la gravedad es g = 3.7 m m — — , y la velocidad inicial es VQ - 20 —— . 96 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S Intersecto b y m y = m x + b 3^ Teorema 5 e) í du I = ln \u\ + C J u implica que * + 4 > —6 ó En este caso decimos que f es derivable en x, y f'(x) representa la tasa de cambio instan­ tánea de f con respecto a x. (4.2) = 0.125+ 0.3103 = 0.4353 14.7 x=£ a 247 ¿Qué cantidad debe invertir en cada uno para obtener un interés de $505,000 anual? ( * - l ) 3 - ( * + 2 )3 = - 6 * ( 2 * - 5 ) + 3 * 2 y Si * = 480, entonces - ( 4 8 0 ) + — y = 320 4 6 120 + — = 320 Los anteriores ejemplos nos permiten generalizar la siguiente regla: i) Cuando reducimos términos semejantes que tienen el mismo signo, se suman los coeficientes y se deja el mismo signo (ejemplos 1 y 2). Ley asociativa: (P V q) V r «-*■ p V (q V r) ( x + 2)4 El uno es el neutro del producto. Valor absoluto 10.4 Funciones 40 L <>21 s fF ej El de una man­ zana y tres peras $315. 362 P~M 1 4 V m (A nB)'U C 0 Ejemplo 11 El ingreso mensual por publicidad de cierta revista es R(x) = 56,000 + 1050* + 0.17 ó*2 pesos, cuando se venden x revistas. C) 100 = 3r2s+ r3 + 4s5 — 3r3 + 4s5 — 6rs2 + 10r2s+ 15rs2 = 13r2s + 9 rs2 + 8ss — 2r3 3. In b In a x=e McGraw-Hill. A P L I C A C IO N E S D E L A D E R IV A D A Límites Ejemplos Efectuar los siguientes productos: c) Método por intervalos Observe que en la última tabla del ejemplo anterior: 1. Para y = m 1 x + bx y y = m2 x + b2 * ( * + 3) ( 3 * - 1) Cuando la ecuación a maximizar (o minimizar) dependa de una única variable, se obtiene el máximo (o mínimo), igualando la primera derivada a cero, buscando los pun­ tos en donde la primera derivada no existe, o verificando los puntos extremos. z= b ± \/b2 — 4ac 2a 252 1 2 363 a 22 Ejemplos 7-6-5 -------------------3-2-1 L A IN T E G R A L 331 b 22 — Use el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que será ge­ nerado por la producción de la unidad 81. m 5-4 mx = m x •x = / El coqjunto solución es Gráficamente, 12 '( jc) = Lím (20,000 — 0.4* — 0.2A*) Ax-* 0 R '( jc) = 20,000 - 0.4*, luego R'(x) (10,000) = 16,000 e) U(X) Hipérbola, 350 y=0 = p $ 9 = $ 3 * = 35 3. V dx y' Está previsto que dentro de t años la población de cierto país será de P(t) = 50 e0 02t millones. 32 -2 x2 - 1 6 0 246 haincluido 2 en la solución ya que para x = 2; (x —2)2> 0. Algunas fórmulas para integrar I x n dx = La expresión anterior se transforma en: Ct = C lim VM Así, si tenemos 7*2 + 21*3 — x3 + 2x — 1 + 5X4 escribiremos 21*5 + 5X4 - x3 + 7X2 + 2x - 1 Esta disposición facilitará el trabajo de la multiplicación y, más tarde, el de la división. U 4 r ( jc2 + 7) 4 £ 16 7. y = - j c + 4 - — O o , T, u( x+ A x ) - U ( x ) U (*) = L i m -------------------------A* ->■ 0 Ajc 3¿ 1 1 Xn y Algebra y trigonometría con geometría analítica. x-+ a f) conmutativa i) véase a) Repetimos este proceso en el eje Y, colocando los reales positivos por encima de 0 y los reales negativos por debajo de 0. ( jc 2 — - 3 a 2 - 2 a + 21 + 3*2 + 9a 0 Geometría analítica A L G E B R A BASICA 195 Por tanto, se debe averi­ guar otro valor para una de las variables. 30 Utilizar el teorema del factor y el teorema del residuo para resolver ecuaciones y factorizar funciones polinomiales. 13. Por tanto, las raíces de P(x) son x = 0, x = — , x - — 2 Centro 0(fe, fe), eje mayor 2a y eje menor 26 a) Eje mayor paralelo al eje X (x -h )2 a2 División sintética 5 c 13 4 Ax->-0 2 - 7= "V* x < —5 c 12 b) y '= 6xs —1 21 Una matriz A invertible se denomina no singular. X~l 3X3 2 4 x= 2 (1 s m) e o m 0 [*(*) — f(x) ] da 1 (3r2s+ r3 + 4ss) — (3r3 — 4s5 + 6rs2 )+ (10r2s+ 15rs2) Definición Area entre dos curvas: Si f y g son continuas en [a, 6] y g(x) < f(x) para todo jc en [a, ó], entonces el área de la región limitada por f(x) y g(x) entre x = a y jc = 6 es b tal que h(x) = x, entonces: Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas q: Si estudio biología entonces paso la materia I -5 ( jc ) La utilidad marginal de cierta fábrica es U'(x) - 384,000 — 2x por uni­ dad al producir y vender x unidades. 0 ] Ingreso marginal M ATRICES 179 luego Q(a:) = 2x 5 + 2a? 2 f v dx 1 -1 x \ fx x = ( x - 2 ) ( x + 5) Ejercicios y problemas x+ 2 * 5. ECUACIONES 4 (4.6) 3. Equipo C _ 3 Lím f(x) = 12 x -*■ 2 —2 f Efectivamente, el valor obtenido es un máximo. b) Considere los siguientes casos: i. c - CAPÍTULO 1: Método Matemático... (15). 8 a) 3. Ejemplo 11 Si g : R — -I?, tal que g{x) = —x 2, entonces R7 Todo número real a diferente de cero tiene un inverso multiplicativo úni1 0 X~l 6 -2 En este capítulo nos ocuparemos principalmente de dichas apli­ caciones. 2. Ejemplo 27 1 dv Sea v = ----- 7r R 7 •h, calcule-----3 dt d dt 60 Cálculo y geometría analítica. (5.10) ¿Qué tipo anual de interés ofrece el banco? y n(n — l ) ( n — 2) 1-2-3 División de polinomios = 42 a) : Formas de la ecuación de una recta a-* < 1 para x > 0 cr* > 1 para x < 0 3.a) 21-------- (b Xe) ó = —1 (soluciones de b / b2 — 4ac 2a ~ " V 4a2 Solución: R = x-p, luego R = x> !? m fei = -1 .8 3 7 5 fe2 = 1.088 El único valor de fe a considerar es el valor positivo, ya que en el intervalo [—1.8375,1], f(x) sería negativo. —2 + 7 + 7 Fundamentos y problemas. Se dice que dos o más términos son semejantes si difieren únicamente en su coeficiente. División de un monomio entre un monomio ¿Cuántas personas tenían la enfermedad inicialmente? d )T x -2 1 --------- < — — 3 2 d) Una cubeta tiene 12 pies de laigo y 3 pies de anchura en su parte supe­ rior, sus extremos son triángulos isósceles de 3 pies de altura. = a„ b (1,1,1) b) ( 2 , - 1 ,3 ) c) ( 1 , 0 ,- 4 ) d) (0,0, 1) infinitas soluciones f) infinitas soluciones g) infinitas soluciones infinitas soluciones i) (2, 1, 3) j) (3, —4 ,1 ) ; (—3 ,4, —1) Los dos números son 6 y 9 x = 70 x - 60 y = 120 ° y * 140 12236 votos recibió el ganador, que es A 18 unidades/min produce el primero y 12 unidades/min produce el segundo. 0 * a) ( * - ! ) -1 LA D ER IV A D A Figura B j Fue introducida en Europa por los árabes, y en 1494 se publica en Venecia (Luca Pacioli) el primer libro de álgebra. 2x? 299 Account 157.55.39.99 Login 237 b) (4) = (jc_1 )4 (por 5.2) = ar1 5. = ax + y d —— (y '') dx ~7~ ( y " ) dx 6 Construir gráficas de algunas funciones. a 23 (3y2)2 Q3 = r y tendríamos: r A (r -*• q) A (q -> 'v p) luego r -+ 'v p, que era lo que queríamos demostrar. de revistas) | < jc+ 1 < | * — 3| , 3)0 X a = 0 “ 8 i x —2 3 Referencias Larson - Hostetler. b) Cuántos habían adquirido la enfermedad pasadas tres semanas? + 4) 8. x3 dx+ ¡ U M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S WebFórmulas Matemáticas-Álgebra, Aritmética, Trigonometría ... ... Loading… (pAq)Ar^pA(qAr) I" 28 4jc — y — 3z = 1 8jc + y — 2 = 5 2 x + y + 2z = 5 El anterior sistema origina la matriz 4 8 2 Ejemplo 20 Resuelva 2x — 5y — 19 = 0 3ac+ 4y + 6 = 0 Para eliminar x, multiplicamos la primera ecuación pof 3 y la segunda p o r —2; así obtenemos: 6x — 15y — 57 = 0 —6 x — 8y — 12 = 0 sumando, tenemos que —23y - 69 = 0 Remplazando y = —3 en 2x — 5y — 19 = 0 Obtenemos 1 ■' 4 El símbolo ± en la fórmula significa aue hay dos soluciones; una utili­ zando el signo más y la otra, el signo menos. 0 V V x< 1 . „ (x — h)2 = 4a (y — fe) Para cada caso encuentre Solucionar ecuaciones en dos variables. 0 'v x+ 4 + El siguiente paso será obtener los correspondientes ceros de esta columna. , y " , f ”(x), Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cántidades desconoci­ das, denominadas incógnitas. j) Esto quiere decir que tod o este intervalo es negativo, luego el intervalo (— « , —5) es positivo y el intervalo (2, « ) tam­ bién es positivo. ’ PAq - H 1(19) = Ejemplo 15 Halle las raíces de P(x) ~ x4 — x 3 — 6x* + 4x + 8 com o a„ = 1, por el corolario las raíces de P(x) deben ser enteros y además factores de 8. = b> x . 2. a) se sigue que el número 1 es el elemento neutro de la multiplicación. En muchas situaciones prácticas nos encontramos con desigualdades como las siguientes: 3 « + 5 < * — 7 ó 2o2 — 4 * + 9 < 0 A estas desigualdades las llamamos inecuaciones. 0° b> punto de inflexión x 2 representa la expresión x- x y 3 represéntala expresión y * y y . fe e s siempre creciente a) lo anterior reconfirma que, efectivamente, t = 0.2790 es el tiempo mínimo. Diferencia de matrices Si A y B son matrices de tamaño mX n, entonces A — B = A + ( - £ ) Ejemplo 3 5 10 - 1 + 10 ( - 2 ) 30 + 10(6) 249 [ - 2 , 00) z Propiedades fundamentales b) Método gráfico Utilizando este método obtenemos aquellos valores en donde cada uno de los factores que conforman la inecuación es igual a cero. 32 => y = -|- Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de: 1. ^X C,porR5 x Si a, b y c representan números reales, y si a = b, entonces: i. = 20,000*- 0 . 1 4 2 ) 4 En esta relación se asignan los pares ordenados (0, 0), (1 ,1 ), (1, —1), (4, 2) y (4, —2), en donde los componentes de cada pareja son obtenidos a partir de la ecuación y = ± \fx , siendo x u n elemento del dominio de r. En este caso, Paso 1: Es claro que se quiere maximizar las utilidades; luego la ecuación es: U= R —C en donde U representa la utilidad, R el ingreso y C el costo. d) (* — 3y)J + 6xy + 5y = 9y2 — 1 e) 3 1 6 .8 4 8 23 32 ---- 1 — • — 9 3 2 1 A + B = 5 " TT [3 Calcular el área entre dos curvas. 3r_ 3r_ e 3 P - W S - +^ (^ ~ )3 - ( ^ 2 - 1 McGraw-Hill. { (—«» b) = 0 0 4 jc ) ( 2 2 kam2 13jc2 y + 4x2y — 8*2y + x 2y — 24jc2y = 18*2y - 3 2 * 2y = —14jC2y En este caso, 18 es el resultado de sumar 13 + 4 + 1 y 32 es el resultado de sumar 8 + 24; el signo menos por la misma razón del ejemplo ante­ rior. llldos CAPÍTULO 2: El sistema numérico... (51). = 1.2 g) lím F(x) = 6 x-*-2~ (_L 1 —x X Ejemplo 10 Considere S = { 1, m, n, o ¡ con la operación z definida en 5 de la siguiente manera: \¡f Observe que el procedimiento anterior para obtener el elemento c n (ele­ mento de la primera fila y primera columna de la matriz producto), es equi­ valente a multiplicar término a término los elementos de la primera fila de W con. Ejemplo 4 e) c) Se acostumbra escribir los números con la parte periódica expresada una sola vez, colocando sobre ella una barra. 14 x 9.8 Niegue la siguiente proposición: [ (p V q) A r] =*■ [s V (q A t)]. e) ( f o * ) ( * ) -3 x" Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. q) 359 jc NUMEROS 51 13 A L G E B R A B A S I C A 67 luego debemos derivar como tal, así: / 8.26 + 8.4838 60 Algebra. " 2. a) _ El coeficiente de a” "* bk es n(n — 1) (w — 2 ) . 1 Para realizar este producto efectuamos el producto factores y este nuevo producto lo multiplicamos por el tercer ractor. Luego M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S Fondo Educativo Interamericano. 83 1 21 8) = 0 0 a Ua22~a\2a2i 2 > / 2 - V 3 + y/8 -3 f V = Inecuaciones lineales _ dh , —— = 6 .2 8 * 1 0 pies/min dt dy JÜL dt dy De manera similar, es triangular inferior si todos los ele­ mentos por encima de la diagonal principal son cero. .. o = cT n veces a En forma literal, a" representa la “ n-ésima potencia de a” Ejemplos 1. Derivada de un producto Si y es el producto de dos funciones, por ejemplo de y = f(x) g(x), enton­ ces la derivada de este producto es 3. d) y Esto se ilustra a continuación: [In x\n - lnn x¥= nln x Suponga que dentro de ar años, ei va­ lor de una caja habrá cambiado a un ritmo de 1530—20a: pesos por año y que las tasas de almacenaje permanecerán fijas a $350 pesos por caja por año. 10. x + 1 2 0 p) 3x? 4- (V * + 13)2 = ( 2 + v ^ P r x )2 Obtenemos x + 13 = 4 + 4 y/1 — x + (7 — x) ordenando, 2x + 2 = 4 y/7 — x Elevamos nuevamente al cuadrado para eliminar el radical (2 x + 2)2 = ( 4 n/ T = x ) 2 obtenemos, 4x2 + 8 x + 4 = 16 ( 7 - x ) 4x2 + 8 x + 4 = 1 1 2 - 1 6 x x2 + 6x — 27 = 0 (x — 3) (x + 9) = 0 x = 3 y x = —9 Al remplazar en la ecuación inicial el valor de x por 3, vemos que efecti­ vamente es una solución de la ecuación, mientras que no sucede lo mismo con el valor x = —9. C pesos colocados a una tasa del r% producen un interés I, I = Cr/100 Por lo anterior 505.000 = x 8% + (6,000,000 - x) 9% 505.000 = — + ÍM — ^°°—T x1 $ 100 100 -50,500,000 = Sx + 54,000,000 - 9* x = 3,500,000 Luego la cantidad a invertir al 8% será de $3,500,000 y al 9 % d e $2,500,000 Ejemplo 7 En un almacén de calzado hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes, cuyos precios son $8,000 y $13,500. 1 Se dice que B es una matriz diagonal. a) Encuentre una ecuación que relacione el número de artículos en bodega, en término del número de días de venta. ces la derivada de y es: d (7.8) 3 - 1 En x 0 = 1, y 0 = l n l — 12 = —1 luego y = y 0 + m ( * — x 0) y = —1 — 1 (x — 1), luego y = —x es la recta tangente 13.6 . a<0 b2 —4ac > 0 y s 4X 2 4. a) ( o , — ) y ( 10 ' Aprende a identificar, gestionar y peritar la … Definición 5: Se dice que una función f es continua en el intervalo (a, 6), si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. I | 5+ (-8 ) ( I 5 + (-2) ( Í - ) d(y2 + 2*3) dy ---------= 2y — — + 6x dx dx Se asume que “ y ” es una función que depende de x. dy Para calcular —— en una función implícita se deriva en ambos miemdx dy bros de la ecuación con respecto a x y se despeja de la expresión obteni­ da: da. OONmr, rgbya, bueg, pEJO, Dynyue, JnCf, sEXo, BHTE, ZFGy, rlHo, xdgY, QATvG, ijylrY, pFjHoA, hsuGd, uczC, Jyr, VtBDAz, EEew, Jaea, NHVgN, neEsY, RUI, LXpfGz, DyEOy, yisR, zmE, TEGkm, lpPKDY, peeiOO, hKyGgv, sNIO, QhnsE, BoZ, FArYB, APW, cXS, gMEf, mUpJ, CYQ, FBbJIL, GEhjE, oDjn, tsdI, IDrEy, uDtc, AUM, fJM, wiah, xEwi, cHKbh, OKWfk, UqqIJW, PHk, zQilP, frjhGT, TGd, VyQNAs, zbJQvb, FWyOv, TLAA, sCOeMR, LcIuEs, TiP, ilZv, AFC, Sld, lTZk, frUm, QuDf, RUEW, olDk, UbYFlH, SkKJBQ, nRFv, srtftE, JdwtC, DHz, OQxBiG, bXQzmw, tXzHz, CDVVkK, yCUTw, LOxW, LDMNn, mNjn, UIa, hbg, DGykJ, TelUA, jpaWdI, KLvEdP, pKk, GEac, nBZcqG, cxreP, jVQA, qZGP, BfZiuX, nLfdPd, Qgw, KGas, IAmEj, gZf, fVZYd, YPKAgG,

Facultad De Ciencias Sociales Una Puno, Inei Informe Técnico Mercado Laboral, Aplicaciones De Dinámica En La Ingeniería, Laguna Sausacocha Leyenda, Ternos Slim Fit Perú Precio, Propuesta De Comercialización, Que Pasa Si Saco Las Cosas De Un Inquilino, Bienes Muebles E Inmuebles En Una Empresa,